Les Fonctions Logiques

Tous les ordinateurs modernes emploient le système de logique établi par George Boole. Les milliers d’interrupteurs électroniques microscopiques d’une puce d’ordinateur sont arrangés en « portes » qui donnent des résultats logiques, c’est-à-dire prévisibles. Les portes logiques fondamentales, ET, OU et NON, sont illustrées ci-dessous. Toute autre porte utilisée en informatique dérive de ces trois-là.
Reliées de diverses façons, les portes logiques permettent à l’ordinateur d’accomplir son travail avec les impulsions codées de son langage binaire. Chaque porte logique accepte des entrées sous forme de tensions basses ou hautes ; la tension représente n’importe quel concept binaire ; oui-non, un-zéro, vrai-faux. Une porte ET, par exemple, transmet l’équivalent d’un 1 binaire seulement si toutes les entrées valent 1, s’il s’agit d’un VRAI logique.
Les règles qui régissent les portes logiques leur permettent de réguler le mouvement des données et des instructions à l’intérieur de l’ordinateur. Par exemple, certaines données passeront d’un emplacement à un autre seulement si une porte ET reçoit des signaux VRAI de toutes les lignes d’entrée qui y sont reliées.

Les portes illustrées ci-dessus représentent des ET, conçues selon la convention symbolique des circuits électroniques. Bien qu’ici chaque porte ET ne reçoive que deux entrées, dans la réalité elle peut en recevoir davantage. Comme toutes les portes logiques cependant, elle n’engendre qu’une seule sortie. La règle d’une porte ET est qu’elle délivre l’équivalent d’un 1 binaire, ou VRAI logique, seulement si toutes les entrées sont VRAI. Les trois portes supérieures ci-dessus produisent un 0, ou FAUX, car aucune ne reçoit deux 1 en entrée ; seulement la dernière peut donner 1.

A l’image des portes ET, les portes OU peuvent accepter plus de deux entrées, mais avec une sortie unique. Cependant, les portes OU sont moins spécifiques que les portes ET. Comme nous pouvons le voir ici, une porte OU délivre un 1 binaire, ou VRAI logique, si l’une des entrées est VRAI. Une porte OU délivre l’équivalent d’un 0 binaire, ou FAUX, seulement si toutes les entrées répondent FAUX.



Les triangles à l’extrémité arrondie sont des portes NON, ou inverseurs. A la différence d’une porte ET ou OU, une porte NON n’accepte qu’une entrée, qui est alors inversée, 0 devenant 1 et réciproquement. Les portes NON sont souvent associées à des portes ET et OU pour former des portes ET-NON et OU-NON. Ces circuits hybrides traitent les entrées en suivant les règles ET/OU, puis inversent automatiquement la sortie.

Le lien entre les portes logiques

Les portes ET, OU et NON sont combinées de diverses façons pour former des circuits électroniques appelés demi-additionneurs (image 1) et additionneurs complets (image 2), qui permettent d’accomplir des additions binaires. Avec quelques modifications, on peut également soustraire, multiplier et diviser.
Le plus simple des deux circuits, le demi-additionneur, peut additionner deux chiffres binaires et engendrer un résultat avec retenue. Mais il ne peut prendre en compte un troisième chiffre, résultat d’une addition précédente. On l’utilise donc seulement en début d’une chaîne d’addition logique où la colonne des 1 ne peut comporter de retenue. En revanche, un additionneur complet peut traiter deux chiffres binaires et une retenue, et peut donc être utilisé à n’importe quel endroit de la chaîne.
Il n’existe pas une seule combinaison possible d’éléments logiques pour constituer un additionneur. Les différentes portes peuvent être placées de plusieurs façons. (Une porte OU suffit aux trois quarts de ce que fait un demi-additionneur, puisqu’elle engendre un 0 quand les deux entrées sont des 0, et un 1 quand l’une des entrées est un 1. Malheureusement, une porte OU engendre seulement un 1 quand les deux entrées sont des 1, plutôt que 0 avec 1 de retenue.) Pour toutes les applications mathématiques et logiques, il suffit que le circuit délivre un 1 ou un 0, ce qu’illustrent d’une façon claire et simple les diagrammes ci-dessous. Les liaisons de haute tension, ou 1 binaire, sont en rouge ; celle de basse tension, ou 0 binaire, sont en noir. Les intersections, où le courant d’une entrée est dirigé vers deux ou plusieurs portes différents, sont marquées d’un point.

Ces demi-additionneurs (à gauche), composés d’une porte OU, d’une NON et de deux ET, illustrent l’addition de deux chiffres binaires. L’additionneur du haut canalise le courant des entrées 1 et 0 dans la porte OU et la première porte ET ; la porte OU produit un 1, la ET un 0. La porte NON inverse alors le 0 en 1, qui rejoint le 1 de la porte OU comme entrée de la deuxième porte ET pour produire un 1, sans retenue. L’additionneur du bas suit la même procédure pour additionner 1 et 1, avec 1 de retenue.

Un additionneur complet (à droite) est indispensable pour traiter la retenue d’une addition dans la colonne la plus à droite. Dans cet exemple, les portes sont disposées en trois parties, pour plus de clarté. La section supérieure traite la retenue et l’une des entrées, produisant un 0, passe à la dernière section pour un traitement avec l’autre entrée. Cette section donne alors 1. La section inférieure traite les deux entrées et la retenue produit un 1 qui passe dans la sortie.

Des additionneurs en cascade

A l’image des portes logiques qui se combinent pour donner des additionneurs, ceux-ci peuvent être reliés pour former ce qu’on appelle des additionneurs en cascade : un système comptant un additionneur pour chaque paire de bits du problème considéré. Dans l’exemple ci-dessous, deux nombres à quatre bits sont additionnés par une cascade de quatre additionneurs. Le premier est un demi-additionneur pour les bits de poids faible qui peut engendrer, mais jamais recevoir, un chiffre de retenue. Tous les autres sont des additionneurs complets.

L’addition de nombres binaires ou décimaux équivalents donne un même résultat, y compris les retenues. 7 équivaut à 0111 binaire et 6 à 0110 ; aussi la somme de 7 plus, soit 13, est-elle égale à la somme de 0111 plus 0110, soit 1101 binaire.

Dans cette cascade, chacun des quatre additionneurs reçoit des entrées différentes. Au sommet, le demi-additionneur ajoute 1 à 0 et donne 1, sans retenue. Le premier additionneur complet additionne deux 1 et on obtient 0 avec 1 de retenue. Le suivant ajoute à cette retenue deux 1 et donne 1 avec 1 de retenue. Le dernier combine deux 0 et une retenue pour donner 1. Le résultat : 1101, ou 13. A chaque fois qu’une retenue apparaît, elle est transmise à l’additionneur suivant.